▷ Constante de integración

En este post te explicamos qué es la constante de integración. Así pues, encontrarás el concepto de la constante de integración, cómo calcular la constante de integración de una antiderivada y, además, un ejemplo resuelto paso a paso.

Índice

¿Qué es la constante de integración?

La constante de integración es una constante que sumamos a la función obtenida de una integral para indicar la ambigüedad del resultado.

En general, la constante de integración se representa con el símbolo C.

$\displaystyle\int f(x)\ dx=F(x)+\color{red}\bm{C}$

Por ejemplo, la integral de x da como resultado x al cuadrado partido por dos más la constante de integración.

$\displaystyle\int x\ dx=\frac{x^2}{2}+\color{red}\bm{C}$

Así pues, la constante de integración C del resultado de una integral significa que la función primitiva puede tener cualquier valor como constante, de manera que sea cual sea el valor de la constante haría que la antiderivada fuese válida.

Dadas unas condiciones iniciales, se puede calcular el valor de la constante de integración. Más abajo veremos cómo se hace.

Motivo de la constante de integración

El motivo por el que debemos añadir una constante de integración es porque la derivada de una constante es igual a cero. Por lo tanto, al hacer la integración de cualquier función debemos tener en cuenta que la función primitiva puede que contenga una constante.

Es decir, si derivamos una función que tiene una constante (un término sin variable x), el resultado será una expresión algebraica en la cual se eliminará dicha constante.

$f(x)=4x^2+3x+8 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ f'(x)=8x+3$

Sin embargo, si integramos la expresión obtenida sin tener en cuenta esta constante, nos daría una función primitiva diferente a la función original.

$\displaystyle\int (8x+3)\ dx=4x^2+3x \ \color{red}\bm{\times}$

Esto sería incorrecto ya que según el teorema fundamental del cálculo la derivación y la integración son operaciones inversas, lo que significa que deberíamos obtener el mismo resultado al efectuar las dos operaciones.

Por lo tanto, para tener en cuenta esta constante que desaparece al derivar, se añade una constante de integración al resultado de cualquier integral:

$\displaystyle\int (8x+3)\ dx=4x^2+3x+\color{red}\bm{C}$

De este modo se indica que la función primitiva obtenida de la integral puede tener una constante cuyo valor se desconoce.

➤ Ver: Integral de una constante

Ejercicio resuelto de la constante de integración

Para que puedas ver cómo se calcula la constante de integración, a continuación vamos a resolver un problema paso a paso.

Calcula la función primitiva de f(x)=e^x cuya gráfica pasa por el punto P(0,2).

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es integrar la función exponencial e^x:

$\displaystyle F(x)=\int e^x\ dx=e^x+C$

➤ Ver: Integral de e^x

De modo que ahora solo nos queda hallar el valor de la constante de integración para determinar la función primitiva. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto dado en la función y resolvemos la ecuación resultante:

$\displaystyle F(0)=2$