Derivada de una función logarítmica

Aquí encontrarás cómo resolver la derivada de una función logarítmica en cualquier base (fórmula). Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de derivadas de funciones logarítmicas.

La fórmula para dividir una función logarítmica depende de si el logaritmo es natural (de base e) o de cualquier otra base. Por tanto, primero veremos las dos fórmulas por separado con un ejemplo para cada caso y luego haremos un resumen de las dos reglas.

Derivada de un logaritmo natural o neperiano

La derivada de un logaritmo natural (o logaritmo neperiano) es el cociente de la derivada del argumento del logaritmo dividido entre la función del argumento.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Lógicamente, si la función dentro del logaritmo es la función identidad, en el numerador de la derivada queda un 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que se resuelve la derivada del logaritmo natural de 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Recuerda que el logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número e (número de Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Derivada de un logaritmo en base a

La derivada de un logaritmo en cualquier base es igual a 1 partido por el producto de x por el logaritmo natural de la base del logaritmo original.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

De manera que si aplicamos la regla de la cadena, la regla de la derivada logarítmica queda:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Por ejemplo, la derivada del logaritmo en base 2 de x al cuadrado es:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Fórmula de la derivada de una función logarítmica

Vista la definición de la derivada logarítmica y sus dos posibles variantes, a continuación tienes un resumen de las dos fórmulas para que te sea más fácil memorizarlas.

derivada de una funcion logaritmica

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones logarítmicas

Ejercicio 1

Deriva la siguiente función logarítmica:

f(x)=\log(3x^2)

En este caso debemos resolver la derivada de un logaritmo en base decimal, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

De modo que la derivada del logaritmo en base 10 es:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Recuerda que si un logaritmo no tiene base significa que su base es 10.

 

Ejercicio 2

Deriva el siguiente logaritmo natural (o neperiano):

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

La función de este problema se trata de un logaritmo natural, por lo que debemos usar la siguiente regla para derivar la función logarítmica:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Así que la derivada del logaritmo neperiano es:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

 

Ejercicio 3

Deriva el siguiente logaritmo:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

En este ejercicio tenemos que derivar un logaritmo en base 7, así que usaremos la siguiente fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Y la derivada del logaritmo es:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

 

Ejercicio 4

Halla la derivada de la siguiente función logarítmica con una fracción:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Para resolver la derivada logarítmica, primero podemos simplificar la función aplicando las propiedades de los logaritmos:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Ahora tenemos que emplear la fórmula de la derivada logarítmica dos veces, pero las dos derivadas són más fáciles de calcular.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

En definitiva, la derivada de la función es:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

 

Ejercicio 5

Calcula la derivada de la siguiente función logarítmica con una raíz:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

En primer lugar, simplificaremos la función utilizando las propiedades de los logaritmos:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Y una vez hemos quitado el radical de la función, usamos la regla de la derivada del logaritmo natural o neperiano:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Por lo tanto, la derivada de la función logarítmica compuesta es:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

 

4 comentarios en “Derivada de una función logarítmica”

  2. José Jurado

    No comprendo porque estas páginas de resolución de ejercicios, no desarrollan ejercicios para cálcular derivadas para funciones logarítmicas base (10)

    Responder
    1. Funciones

      Buenas José,

      Recuerda que cuando no se pone la base en el logaritmo significa que su base es 10. Por ejemplo, en el primer ejercicio que planteamos tienes resuelta la derivada de una función logarítmica de este tipo.

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