Tipos de indeterminaciones (límites indeterminados)

En este post te explicamos qué es una indeterminación. Encontrarás cuáles son todos los tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas. Además, podrás ver ejercicios resueltos paso a paso de límites de funciones de todas las indeterminaciones.

¿Qué son las indeterminaciones?

Las indeterminaciones, también llamadas formas indeterminadas, son expresiones matemáticas que aparecen en el cálculo de límites de funciones cuyo resultado no está definido. Por lo tanto, para resolver las indeterminaciones de los límites se debe aplicar un procedimiento previo que depende del tipo de función.

Es decir, cuando obtenemos una indeterminación no significa que el límite no exista o que no se pueda resolver, sino que tendremos que hacer alguna modificación a la función para poder hallar la solución del límite.

Tipos de indeterminaciones

Las indeterminaciones, o formas indeterminadas, se clasifican en los siguientes tipos:

  • Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)
  • Indeterminación número entre cero (k/∞)
  • Indeterminación cero entre cero (0/0)
  • Indeterminación infinito entre infinito (∞/∞)
  • Indeterminación 1 elevado a infinito (1∞)
  • Indeterminación cero elevado a cero (00)
  • Indeterminación cero por infinito (0·∞)
  • Indeterminación cero elevado a infinito (0∞)
  • Indeterminación infinito elevado a cero (∞0)

A continuación, vamos a ver cómo resolver todos los tipos de indeterminaciones.

Indeterminación infinito menos infinito

La forma indeterminada infinito menos infinito no es igual a cero, ya que estamos restando dos números muy grandes pero no sabemos cuál es el mayor. Por lo tanto, el resultado de la diferencia de infinitos depende del orden de cada infinito.

\infty-\infty

Resolver este tipo de indeterminación no es nada sencillo, porque dependiendo del tipo de función se debe aplicar un procedimiento u otro. Por eso te recomendamos que veas la explicación entera en el siguiente enlace:

➤ Ver: cómo resolver la indeterminación infinito menos infinito

Indeterminación número entre cero

La indeterminación de una constante dividida entre cero se obtiene cuando se anula el denominador de una función racional.

\cfrac{k}{0}

El resultado de este tipo de forma indeterminada siempre será más infinito, menos infinito o no existirá el límite de la función. Veamos cómo se calcula esta indeterminación resolviendo un límite como ejemplo:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\cfrac{-4}{x^2}=\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{0}=\infty

Hemos obtenido la indeterminación de un número partido por cero, por lo tanto, tenemos que calcular los límites laterales de la función:

\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{(-0,001)^2}=\cfrac{-4}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{0,001^2}=\cfrac{-4}{+0}=-\infty

➤ Ver: ¿qué son los límites laterales?

Los dos límites laterales de la función dan el mismo resultado, de modo que, por definición, el límite de la función cuando x tiende a 0 da menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty

Ten en cuenta que si los límites laterales hubiesen dado diferente, el límite de la función en este punto no existiría.

Indeterminación cero entre cero

El límite indeterminado cero partido por cero es muy habitual, y se obtiene en funciones con fracciones en las cuales se anula el numerador y el denominador.

\cfrac{0}{0}

Este tipo de límite indeterminado se resuelve de manera distinta dependiendo de cómo sea la función. Por ejemplo, si la función tiene raíces se deben hacer unos pasos diferentes. Puedes ver las diferentes resoluciones de este tipo de indeterminación en el siguiente enlace:

➤ Ver: cómo resolver la indeterminación cero entre cero

Indeterminación infinito entre infinito

La indeterminación infinito entre infinito suele producirse en límites al infinito de funciones con fracciones. Aunque la indeterminación sea el cociente de dos infinitos, el resultado no tiene por qué dar infinito.

\cfrac{\infty}{\infty}

Este tipo de forma indeterminada se resuelve por comparación. Es decir, se observa el grado del numerador y el grado del denominador y, según cuál sea mayor, el resultado del límite es uno u otro. Puedes ver todos los casos en el siguiente enlace:

➤ Ver: ejercicios resueltos de límites infinito entre infinito

Indeterminación 1 elevado a infinito

Matemáticamente, podríamos pensar que 1 a la infinito da como resultado 1, ya que cualquier potencia de 1 es igual a 1. Sin embargo, este término es una indeterminación y, por tanto, no podemos deducir su resultado tan fácilmente.

1^{\infty}

Este tipo de indeterminación se calcula aplicando la siguiente fórmula:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}e^{g(x)\cdot [f(x)-1]}

Por ejemplo, el siguiente límite es indeterminado porque da uno elevado a infinito:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1-\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=(1-0)^{+\infty}=1^{+\infty}

De manera que debemos utilizar la fórmula para este tipo de indeterminaciones:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x\cdot\left[1-\frac{1}{x}-1\right]}=\lim_{x\to+\infty}e^{x\cdot\left[-\frac{1}{x}\right]}=\lim_{x\to+\infty}e^{-1}=\frac{1}{e}

Y de esta forma ya hemos resuelto el límite indeterminado uno elevado a infinito.

Indeterminación cero elevado a cero

La indeterminación cero elevado a cero aparece en límites de funciones complicadas.

0^0

Para solucionar este tipo de límite indeterminado, debemos emplear la siguiente propiedad de los límites:

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}

Por ejemplo, el siguiente límite da la forma indeterminada 0 elevado a 0:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{1}{+\infty}\right)^{\frac{1}{+\infty}}=0^0

Pero si aplicamos logaritmos en el límite podemos hallar su valor:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right)}}=\\[5ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln1-\ln x}{x}}}=\\[5ex]=\displaystyle e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-\ln x}{x}}}=e^{^{\displaystyle\frac{-\infty}{+\infty}}}=e^0=1\end{array}

Indeterminación cero por infinito

Es difícil encontrarse con la indeterminación del producto de cero e infinito, pero eso no significa que sea fácil de determinar.

0\cdot \infty

No existe un único método para resolver este tipo de indeterminación, sino que depende del tipo de función. En este caso, debemos transformar la función en la indeterminación infinito partido por infinito o la indeterminación cero partido por cero, y a partir de aquí aplicar los métodos de resolución que hemos visto más arriba para cada indeterminación.

Entonces, si el límite de una función es 0 y el límite de la otra función es ∞:

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\qquad\lim_{x\to a}g(x)=\infty

Podemos transformar este tipo de forma indeterminada haciendo los siguientes cambios:

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=\frac{0}{0}\\[10ex]\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}=\frac{\infty}{\infty}\end{cases}

Veamos cómo se hace resolviendo un límite indeterminado a modo de ejemplo:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\cdot x=e^{-\infty}\cdot (+\infty)=0\cdot \infty

Operamos en la función para obtener la indeterminación infinito sobre infinito y luego hallar el límite:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\cdot x=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\displaystyle\frac{1}{e^{-x}}}=\\[6ex]=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x}=\frac{+\infty}{e^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=0\end{array}

Indeterminación cero elevado a infinito

La indeterminación cero elevado a infinito es un poco difícil de entender, ya que estamos elevando un número muy pequeño a un número muy grande.

0^{\infty}

Cuando se obtienen estas formas indeterminadas, se debe utilizar la siguiente fórmula:

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}

Resolvamos un ejemplo para entender mejor cómo calcular este tipo de indeterminaciones:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\cdot \ln(x)}}=\\[3.5ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\frac{1}{0^+}\cdot \ln(0^+)}}=e^{+\infty\cdot (-\infty)}\\[3ex]\displaystyle =e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=0\end{array}

Indeterminación infinito elevado a cero

Normalmente, cualquier potencia elevada a cero da como resultado 1, sin embargo, la indeterminación infinito elevado a cero no tiene por qué ser así.

\infty^0

Al igual que en las indeterminaciones cero elevado a cero y cero elevado a infinito, para solucionar este tipo de límite indeterminado tenemos que aplicar logaritmos:

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}

Veamos cómo se resuelven este tipo de límites indeterminados calculando un ejemplo paso a paso:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot \ln(x)}}=\\[3ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}}}=e^{^{\displaystyle\frac{\ln(+\infty)}{+\infty}}}=\\[3ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}}}=e^0=1\end{array}

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