▷ Integral de la tangente

En este post te explicamos cómo resolver la integral de la función tangente. Así pues, encontrarás cuál es la fórmula de la integral de la tangente y, además, varios ejemplos de integrales de tangentes resueltas.

Índice

Fórmula de la integral de la tangente

La integral de la tangente de x es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto del coseno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

Cuando en el argumento de la tangente tenemos una función y además la tangente está multiplicada por la derivada de dicha función, la integral es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto del coseno de esa función más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{tan}(u)\cdot u'\ dx=-\ln |cos(u)|+C$

En definitiva, la fórmula de la integral de la tangente es la siguiente:

Ver demostración de la fórmula de la integral de la tangente

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx$

La función tangente es equivalente a la función seno partido por la función coseno:

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=\int\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx$

La derivada del coseno de x es menos el seno de x, por lo tanto, podemos multiplicar y dividir por -1 para lograr que en el numerador haya la derivada del denominador:

$\displaystyle\int\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx=\int\frac{-1}{-1}\cdot\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx=-\int\frac{-\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx$

Así pues, como el numerador es la derivada del denominador, se trata de una integral logarítmica y por tanto podemos solucionarla con su fórmula correspondiente:

$\displaystyle-\int\frac{-\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx=-\ln|\text{cos}(x)|+C$

De este modo queda demostrada la fórmula de la integral de la tangente de x.

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

➤ Ver: Fórmulas de las integrales logarítmicas

Ejemplo de la integral de la función tangente

Para que puedas ver cómo se resuelve la integral de una función tangente, a continuación te dejamos un ejemplo resuelto paso a paso. En concreto, vamos a resolver la integral de la tangente de 2x.

$\displaystyle\int\text{tan}(2x)\ dx$

Para poder calcular esta integral trigonométrica necesitamos que la tangente esté multiplicada por la derivada de su argumento, que es 2. Así pues, multiplicamos y dividimos la integral por 2 y luego sacamos el denominador fuera de la integral:

$\displaystyle\int\text{tan}(2x)\ dx=\int\frac{2}{2}\cdot \text{tan}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\int 2\cdot\text{tan}(2x)\ dx$

Ahora que la tangente ya está multiplicada por la derivada de su argumento, ya podemos aplicar la fórmula que hemos visto más arriba:

$\displaystyle\int\text{tan}(u)\cdot u'\ dx=-\ln |cos(u)|+C$

Por lo tanto, la integral de la tangente de 2x es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto del coseno de 2x partido por dos más la constante de integración.

$\displaystyle\frac{1}{2}\int 2\cdot\text{tan}(2x)\ dx=-\frac{\ln|\text{cos}(2x)|}{2}+C$

➤ Ver: Derivada de la función tangente

Ejercicios resueltos de integrales de tangentes

Resuelve las siguientes integrales de funciones tangente:

$\text{A) } \displaystyle\int\text{tan}(3x+2)\ dx$

$\text{B) } \displaystyle\int\bigl(10x^2+\text{tan}(x)\bigr)\ dx$

$\text{C) } \displaystyle\int(x+1)\text{tan}(x^2+2x-4)\ dx$

$\text{D) } \displaystyle\int e^{6x}\text{tan}\left(e^{6x}\right)\ dx$

Ver solución

$\text{A) } \displaystyle\int\text{tan}(3x+2)\ dx =\frac{1}{3}\int 3\cdot \text{tan}(3x+2)\ dx =-\frac{\ln|\text{cos}(3x+2)|}{3}+C$

$\begin{aligned}\text{B) } &\displaystyle\int\bigl(10x^2+\text{tan}(x)\bigr)\ dx =\\[2ex]&=\int 10x^2\ dx + \int \text{tan}(x) \ dx=\\[2ex]&=\cfrac{10x^3}{3}-\ln|\text{cos}(x)|+C\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{C) }& \displaystyle\int(x+1)\text{tan}(x^2+2x-4)\ dx\longrightarrow \left\{\begin{array}{c}u=x^2+2x-4\\[2ex] du=(2x+2)dx=2(x+1)dx\end{array}\right\}\\[2ex]&=\int \frac{(x+1)\text{tan}(u)}{2(x+1)}\ du=\\[2ex]&=\frac{1}{2}\int\text{tan}(u)\ du=-\frac{\ln|\text{cos}(u)|}{2}+C=\\[2ex]&=-\frac{\ln|\text{cos}(x^2+2x-4)|}{2}+C \end{aligned}$

$\text{D) } \displaystyle\int e^{6x}\text{tan}\left(e^{6x}\right)\ dx =\frac{1}{6}\int 6e^{6x}\text{tan}\left(e^{6x}\right)\ dx=-\frac{\ln\left|\text{cos}\left(e^{6x}\right)\right|}{6}+C$

➤ Ver: Integral del seno
➤ Ver: Integral del coseno